Término filosófico de significado vario. En principio, y tomando como origen la teoría hilemórfica de Aristóteles (v. HILEMORFISMO), puede definirse el f. como aquella doctrina que defiende el predominio de la forma (v.) sobre la materia (v.), de la estructura sobre el contenido (en este sentido se dice que una poesía o una producción cinematográfica es formalmente buena, pero que carece de mensaje). En una acepción más estricta y técnica, el término f. se ha aplicado históricamente en cuatro momentos fundamentales, que a continuación se exponen.
      1. El formalismo en Duns Escoto (v.). Para Escoto, el individuo es lo único que existe realmente; ahora bien, frente a la unidad de forma sustancial demostrada y defendida por S. Tomás, Escoto mantendrá la existencia en el individuo de diversas formalidades, que constituyen otros tantos grados metafísicos; estas formalidades son algo objetivo y actual, que realmente se dan en el individuo, si bien no son ni separadas ni separables, salvo por el entendimiento; la distinción entre estas formalidades no es rigurosamente real, pero tampoco meramente de razón; se trata de una distinción formal basada en la misma naturaleza de las cosas, «distincóo formalis ex natura rei» (M. Oromí, Teoría de las distinciones en el sistema escotista», «Verdad y vida» 5, 1947, 257-282).
      2. El formalismo kantiano. Para Kant (v.), la esencia del imperativo categórico radica en su naturaleza de ley estrictamente formal; en esto consiste el f. kantiano, en que la ley moral (v.) recibe su valor por el hecho de tener forma de ley, por el hecho de su universalidad, y no por aquello que ordena, es decir, por su materia. Es más, una ley moral material para Kant es una contradicción, ya que por ser material dejaría de ser universal y, en consecuencia, ley. Claramente expone esta peculiar opinión en el teorema 1° de la Crítica de la razón práctica, en el que ofrece esta alternativa: o la ley moral está determinada por su materia, por sus fines, en cuyo caso se fundaría sobre el placer y sería subjetiva (con lo que se destruiría su índole de ley), o la ley moral tiene que ser puramente formal. La ley moral no puede formularse diciendo «obra de acuerdo con tal o cual fin», sino «obra según una ley universal»: sólo bajo una representación formal es posible universalizar la máxima reguladora de los actos.
      3. El formalismo como fundamentación de la Matemática. En el s. XIX, a causa de ciertas contradicciones surgidas dentro de la Matemática, se presentó la necesidad de llegar a una revisión de los fundamentos de esta ciencia, con objeto de establecerla sobre unas bases lógicamente inatacables. Tres direcciones distintas, e incluso opuestas, se han seguido con este fin: la escuela logicista, capitaneada por B. Russell (v.); la escuela intuicionista, encabezada por L. E. J. Brouwer; y la escuela formalista, acaudillada por D. Hilbert. Esta última escuela intenta basar toda la Matemática en un sistema de axiomas fundamentales, por lo que también se la ha llamado escuela axiomática (v. AXIOMA, 4); el programa del f. matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Este sistema formal estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las demás proposiciones de ellos deducidas: los teoremas).
      El sistema axiomático tiene que cumplir los requisitos de no-contradicción, de completitud y de independencia. El propio Hilbert ha formulado un sistema formal axiomático para la geometría euclidiana; este sistema está integrado por 27 axiomas, que no llegan a ninguna contradicción, que son independientes los unos de los otros y que son completos, ya que, partiendo de ellos, son deducibles todos los teoremas considerados como geométricos (un sistema axiomático incompleto para la geometría euclidiana es, precisa e irónicamente, el sistema propuesto por el propio Euclides para su geometría euclidiana; en efecto, la primera demostración de Euclides no es consecuencia necesaria de sus axiomas; por otra parte, la construcción de la geometría euclidiana necesita del axioma de Pasch, axioma 14 en la axiomática de Hilbert).
      4. El formalismo como tesis que propugna la formalización de todo saber. La coherencia y precisión de la Matemática ha llevado al anhelo de extender el f. a toda rama del saber; se aspira a la formalización de toda teoría, en la que, partiendo de un conjunto de axiomas, se puedan deducir necesariamente todas las demás proposiciones; se trata, en definitiva, del viejo sueño de la mathesis universales. Naturalmente que los primeros intentos en este sentido se han realizado en el campo de la Física (v.), la ciencia de lo real más matematizada (en otros campos del saber, como la Biología, la Psicología o la Sociología se admite que la formalización, supuesto que sea posible, es todavía empresa reservada al futuro) (v. CIENCIA 1, 2 y vli, 3). Así, p. ej., para la Mecánica clásica, McKinley y Suppes han formulado una axiomática (Axiomatic Foundations of Classical Particle Mechanics, «Journal of Rational Mechanics and Analysis», 2, 1953, 253-272).
      El intento de una formalización universal encuentra, tal como hoy se admite generalmente, dos dificultades insoslayables: la una, derivada de la aplicación de la Matemática a lo real, y la otra, basada en las limitaciones internas del mismo f. matemático. En cuanto a la primera hay que tener en cuenta que toda matematización de lo real lleva consigo una simplificación, que supone una desvirtuación de la realidad estudiada; así, p. ej., en la axiomática de McKinley y Suppes, la simplificación radica en considerar las partículas de masa como puntuales (requisito necesario para la posibilidad de un tratamiento formalista de las mismas), pero que no está de acuerdo con la realidad, ya que estas partículas de masa no son puntos matemáticos. De ahí que estos sistemas axiomáticos no puedan ser considerados como fiel reflejo de lo real, sino como «modelos» (v. TEORÍA CIENTÍFICA). Por otra parte, los límites internos del f. matemático se reflejan en todo intento de formalización de la realidad; estos límites son, fundamentalmente, los expresados en el teorema de la incompletitud de K. Gódel (v.) y en el teorema de indecisoriedad de A. Church (n. 1903; v. LÓGICA I, II); según el primero, si una teoría T es no-contradictoria, y si los axiomas de la Aritmética son teoremas de T, entonces T no es categórica, es decir, que en T existen relaciones indecidibles; de este teorema se deriva el que toda teoría que contenga la Aritmética no puede probar, por sí misma, su no-contradictoriedad o, más claramente, que la coherencia de un sistema matemático no puede ser demostrada desde el interior del sistema. Naturalmente que, dado un sistema S, y para salvar su incompletitud, puede añadirse un nuevo axioma, pero entonces en el nuevo sistema formal SI surge la incompletitud, que sólo se salvará con otro nuevo axioma, dando lugar al sistema S2, a su vez incompleto, llegándose a un proceso ad in f initum insoslayable.
      El teorema de indecisoriedad de Church hace referencia al posible intento de conseguir un procedimiento automático para decidir, dentro de la teoría basada en un sistema axiomático, cuáles son las proposiciones demostrables en dicha teoría; esto, que constituye el llamado «problema de la decisión», es insoluble, tal como lo ha establecido Church en 1936; incluso para la Aritmética no hay ninguna función en la que se dé que f(n)=1 si la proposición A. es verdadera, y f(n)=0 si la proposición An es falsá.
      Una y otra limitación representan una imperfección de los sistemas formales; por la primera, nunca se puede estar seguro, desde dentro del sistema tratado, de que sea o no coherente; por la segunda, la demostrabilidad de la verdad o falsedad de una proposición del sistema sólo puede llegarse a conocer mediante su demostración directa, sin que se pueda conocer a parte ante de la misma (el teorema de Church es el que hace que el último teorema de P. Fermat, 1601-1665, o la conjetura de Ch. Goldbach, 1690-1764, sigan siendo una incógnita en cuanto a su verdad o falsedad dentro de la teoría de los números).
      De acuerdo con lo dicho, el f., especialmente en cuanto aplicado a las ciencias de lo real, se presenta como un instrumento de alto poder heurístico, pero que no pretende agotar en sí toda la riqueza de la realidad empírica. Podría decirse que el f. es una condición necesaria, pero no suficiente, del conocimiento de la realidad.
     
      V. t.: FORMA; LÓGICA I y II.
     
     

BIBL.: M. J. GRAJEWSKI, The formal Distinction of Duns Scotus, Washington 1944; S. VANNI ROVIGHI, Introducción al estudio de Kant, Madrid 1948, 171-184 y 191-194; S. KÓRNER, Introducción a la filosofía matemática, México 1967; J. LADRIÉRE, Limitaciones internas de los formalismos, Madrid 1969; A. WARUSFEL, Les mathématiques modernes, París 1969.

J. BARRIO GUTIÉRREZ.