Inicialmente quiero agradecer a la
Profa. Dra. Aurora Cano por la gentil invitación -para mí un
honor- para estar aquí conversando con vosotros.
Analizaremos el Álgebra
como ciencia árabe.
Comencemos por
anticipar algunos puntos de discusión sobre qué significado
puede tener hablar de una ciencia de esta o de aquella nación
o cultura - para más allá del mero hecho de indicar el nivel
de desarrollo o la producción de los científicos de una
determinada nacionalidad, como cuando se dice por ejemplo:
"la Física rusa está muy desarrollada y ha ganado
muchos Premios Nobel" o "sólo la Medicina americana
logra hacer tal transplante" etc.
Ordinariamente
tendemos a pensar que el conocimiento científico es
independiente de latitudes y de culturas: una fórmula química
o un teorema de geometría son los mismos en latín , en francés
o en chino y, siendo la comunicación el único problema -así
se piensa, en un primer vistazo-, bastaría con una buena
traducción de los términos propios, de la jerga de cada
ciencia y todo estaría arreglado (así, ¡theory of sets
se dice teoría de los conjuntos o theorie des ensembles
y ya está...!).
En realidad,
sabemos que las cosas no son tan sencillas y no hace falta
mucho esfuerzo para acordarse de que la evolución de una
ciencia tropieza con muchas interferencias histórico-culturales,
que condicionan desde la creación de esa ciencia hasta el
reconocimiento de un resultado o la adopción de un modo de
proceder científico...
Es conocido, por
ejemplo, el hecho de que espíritus tan revolucionarios como
Galileo o Descartes hicieron hincapié en el "dogma científico"
del horror al vacío; y que sólo Pascal -en la misma época y
tras haberse resistido mucho- haya logrado superar ese error.
Descartes, en su Principios
de la Filosofía -el tratado que comienza por afirmar que
hace falta dudar radicalmente de todo, aún mismo de lo que
pueda presentar la más mínima incerteza-, toma como una
intuición indiscutible de la razón la idea tradicional de
que la naturaleza tiene horror al vacío...
Los condicionantes
de surgimiento de una ciencia son de diversos órdenes.
Así, al decir que
la Geometría (geometria, en griego) es ciencia griega
o que el Álgebra (al-jabr) es ciencia árabe(1),
estamos diciendo algo más que la "casualidad" de
que hayan sido unos señores griegos (o árabes...) sus
fundadores o promotores.
Nos acercamos más
al sentido de la expresión "ciencia árabe" cuando
pensamos en casos paralelos. Se dice, por ejemplo, que la
caligrafía es un "arte árabe", pero no se dice que
la pintura o el teatro sean "artes árabes".
En estos casos, no
estamos interesados en el hecho de que haya muchos y muy
talentosos calígrafos árabes (o en la correspondiente
escasez de pintores...), sino en una "conexión de
sentido" entre el arte caligráfico y factores como: la
actitud musulmana hacia la escrita (y su relación, digamos,
con el modo como el Corán considera los ayyat, los señales
de Dios); la desconfianza semita para con la imagen; total:
que estamos pensando en condicionantes como la lengua, la
religión, la mentalidad etc.
En el caso del Álgebra,
no es casual que haya ella nacido en el califato abasida
("los abasíes -al contrario de los omeyas-, quieren
aplicar con rigor la ley religiosa a la vida
cotidiana"(2)), no es casual que haya surgido en el seno
de la "Casa de la Sabiduría" (Bayt al-Hikma)
de Bagdad, promocionada por el califa Al-Ma'amun(3), una
ciencia nacida en lengua árabe y creada por Al-Khwarizmi, que
es no sólo uno de los fundadores de la ciencia árabe, sino
un antagonista de la ciencia griega.
Desde luego, el Álgebra
que se estudia hoy en las modernas matemáticas -esa que
estudiáis aquí en la universidad- con sus cuerpos, aneles,
espacios de vectores etc., lo que la moderna matemática
entiende por Álgebra bien puede parecer una fría y objetiva
axiomática - una mera sintaxis de estructuras operatorias sin
alcance semántico. Pero esta Álgebra de hoy es el producto
de una evolución -en desarrollo continuo- de la vieja al-jabr,
que nació en un ambiente cultural al cual no son ajenos
elementos que van desde las estructuras gramaticales del árabe
hasta la teología musulmana de entonces...
2. Al-jabr y al-muqabalah
Muhammad
Ibn Musa Al-Khwarizmi fue miembro de la "Casa de la
Sabiduría", aquella notable academia científica de
Bagdad, que ha logrado su esplendor bajo Al-Ma'amun (califa
813-833). A ese califa, Al-Khwarizmi ha dedicado su Al-Ki-tab
al-muhtasar fy hisab al-jabr wa al-muqaba-lah
("Libro breve para el cálculo de la jabr y de la muqabalah"),
el libro fundador del Álgebra.
Fijémonos,
primeramente, en el hecho de que las palabras que dan nombre a
la nueva ciencia, al-jabr y al-muqabalah -aunque
Al-Khwarizmi las emplee en sentido técnico-, eran (y lo son
todavía) términos tomados del lenguaje corriente árabe (es
importante darse cuenta además que todo el lexicon originario
del Algebra fue sacado del lenguaje cotidiano). El radical
trilítere j-b-r (y, como se sabe, el radical tri-consonantal
es lo que hace la determinación de sentido fundamental en árabe...)
está asociado a los siguientes significados:
- Fuerza:
por ejemplo, el ángel Gabriel, Jibryl, es,
literalmente, fuerza-de-Dios. En el Corán (59, 23), Al-Jabar,
el fuerte, aquel que realiza su voluntad - es uno de los
nombres de Dios.
- Fuerza que
arrastra, que impone: el Corán en diversos pasajes (11,
59; 14, 15; 28, 19; 40, 35; etc.) emplea j-b-r para
significar "tiranizar", "tirano" etc.. Y
no es casual que la escuela teológica musulmana que niega el
libre albedrío del hombre -y en su puesto pone el inevitable
destino predeterminado- haya sido llamada jabariyah...
Y el servicio militar obligatorio es ij-bary...
- Restablecer:
poner (o volver a poner) algo en su sitio, en su debido
puesto, restablecer una normalidad. De ahí que tajbir
(siempre el radical j-b-r...) sea ortopedia y jibarah,
reducción de una fractura, en el sentido médico de
reconducir: la fuerza que reconduce el hueso a su debido sitio
(escayolando el brazo quizás...). En España, todavía en el
siglo XVI, en el tiempo en que los barberos acumulaban
funciones, se podía leer en carteles: "Fulano, Barbero,
Algebrista y Sangrador"(4).
¿Por qué Al-Khwarizmi
elige la palabra jabr para el procedimiento fundamental
de su nueva ciencia?
Precisamente
porque -tal como en ortopedia- Álgebra es "obligar por
fuerza cada término -cada término de una ecuación- a ocupar
su debido puesto".
Ya en el comienzo
de su Kitab, Al-Khwarizmi distingue seis formas de
ecuación a las cuales, toda ecuación dada pode ser reducida
(y, por tanto, canónicamente resuelta).
En notación de
hoy:
1. ax2 = bx
2. ax2 = c
3. ax = c
4. ax2 + bx = c
5. ax2 + c = bx
6. bx + c = ax2
Al-jabr es
la operación que adiciona un mismo factor (con la señal + de
suma) a ambos los miembros de una ecuación para eliminar um
factor afectado por la señal -.
Por otro lado
tenemos la operación que suprime términos iguales de las dos
partes de la ecuación: al-muqabalah (de q-b-l,
cuyo significado es: estar delante, cara a cara -de ahí la qiblah
en la mesquita es lo que indica la dirección de Meca- y qabila
es besar, confrontar; equiparar etc.).
Tomemos por
ejemplo un problema en que los datos pueden ser dispuestos
bajo la forma (en notación de álgebra actual):
2x2 + 100 - 20x = 58.
Al-Khwarizmi
procede del modo siguiente:
2x2 + 100 = 58 + 20x
(por al-jabr).
Enseguida divide
por 2 y reduce los términos semejantes:
x2 + 21 = 10x
(por al-muqabalah).
Y el problema está
ya canónicamente ecuacionado.
Tras esta digresión
técnica, podemos analizar (o más bien aludir, indicar...)
las relaciones y conexiones de sentido que se dan entre el Álgebra
y algunos trazos de la cultura árabe.
3. El Álgebra en los cuadros del Islam: lo
religioso y lo temporal
Empezemos por los
fundamentos de las necesidades prácticas de la sociedad. En
su estudio "L'Islam et l'épanouissement des sciences
exactes"(5), Roshdi Rashed, para enseñar la conexión,
el enlace entre El Corán, la ciencia y la vida práctica,
ejemplifica precisamente con el Álgebra: 'ilm al-fara'id
(ciencia de la repartición, de la herencia). Los juristas
musulmanes se refieren al Álgebra como hisab al-fara'id,
el cálculo de la herencia, cálculo hecho según la ley coránica.
Y precisamente ahí
tenemos ya un primer condicionante histórico-cultural, propio
del Islam.
Para estudiar el
Islam el caso de la herencia es emblemático, especialmente
representativo de la sólida unión que se da, en el Islam,
entre el orden religioso y el orden temporal.
Por feliz
coincidencia, el mismísimo problema de la herencia (que, para
el musulmán, queda bajo la directa legislación de Allah) es
planteado a Jesucristo. Jesucristo, que declara -algo
impensable en la visión de mundo musulmana- "A César lo
que es de César; a Dios lo que es de Dios", se niega a
establecer concretamente los términos de repartición de la
herencia.
Se trata de un
pasaje evangélico en apariencia poco importante; muchísimo
más conocido es, por ejemplo, aquel otro versículo del mismo
pasaje: "Mirad los lirios del campo...". Pero me
atrevería a decir que más importante es el episodio olvidado
que además es la clave para entender por qué Jesucristo
invita a mirar los lirios o las aves del cielo...
De hecho, casi
nadie se acuerda de la razón por la cual Jesucristo invita a
mirar las aves del cielo...
El hecho es que
-lo narra el evangelio de Lucas- "uno de la
muchedumbre" se acerca a Jesucristo y le hace una petición:
que Jesús se valga de su autoridad para convencer a su
hermano a repartir con él la herencia (Lc 12, 13). Para
sorpresa de aquel hombre (y en contra de la mentalidad antigua
y oriental, que ligaban el poder religioso a cuestiones
temporales...), Jesu-cristo se niega rotundamente a tomar
partido en esa cuestión, como se niega también a dar
cualquier criterio concreto sobre este problema. Y dice:
"Hombre, ¿quién me ha establecido árbitro o juez de
vuestra repartición?" (Lc 12, 14). Lo único que hace es
una condenación genérica de la codicia, de la
avaricia, de la injusticia y cuenta a esos hermanos la parábola
del hombre rico cuyos campos habían producido abundante fruto
etc. Y concluye con el célebre: "Mirad los lirios del
campo...".
Muy distintas son
las cosas en el mundo musulmán. Roger Garaudy, en el capítulo
"Fe y Política" enseña cómo la tawhid
(unidad, dogma central islámico) se proyecta sobre la política,
el derecho y la economía: "Allah es el único
propietario y él es el único legislador. Este es el
principio fundamental del Islam en su visión de unidad (tawhid)"(6).
Naturalmente, no se trata (no hay sacerdotes...) de una
teocracia clerical a modo occidental, sino que el Islam
favorece una fuerte y enraizada teocracia propia: no es casual
que el jefe político se titule ayyatullah, "señal
de Dios".
En todo caso, el
Corán (4, 11 y ss.) sí que afirma concretamente: "Allah
os ordena lo siguiente en lo que toca a vuestros hijos: que la
porción del varón equivalga a la de dos hembras. Si éstas
son más de dos(7), les corresponderán dos tercios de la
herencia. Si es hija única, la mitad. A cada uno de los
padres le corresponderá un sexto de la herencia, si deja
hijos; pero si no tiene hijos y le heredan sólo sus padres,
un tercio es para la madre. Etc., etc.".
Y concluye:
"De vuestros ascendientes o descendientes, no sabéis cuáles
os son más útiles. Ésta es obligación de Allah. Allah es
omnisciente, sabio".
Contrastemos esto
con la doctrina cristiana.
Naturalmente, para
un cristiano, el mundo es creación de Dios y obra de Su
Inteligencia: el mundo fue creado por el Verbum y, por
tanto, conocer el mundo es conocer señales de Dios. Y más:
cada criatura es porque es creada inteligentemente por
Dios, participa del ser de Dios. El Dios cristiano es -por
diversos titulos- Emmanuel, Dios con nosotros, y por la
Encarnación, la eternidad de Dios irrumpe en la temporalidad
y Cristo encabeza, recapitula (como dice el nuevo Catecismo
de la Iglesia Católica) toda la realidad creada.
De ahí que la
Iglesia defienda con tenacidad las leyes morales, como leyes
naturales de la dignidad del ser del hombre, dignidad que le
ha sido suministrada por el acto creador del Verbum. Pero,
precisamente por esa misma concepción teológica, el
cristiano debe afirmar la más radical autonomía de las
realidades temporales: porque el mundo es obra del Verbum,
la realidad temporal tiene su verdad propia, sus propias
leyes, naturales, echando fuera el clericalismo(8).
Así, si yo quiero
ocuparme, digamos, de producir naranjas, no debo acudir a los
obispos ni a la Biblia, sino que debo estudiar "naranjología":
porque el Verbo ha creado inteligentemente las naranjas y les
ha dado leyes: debo plantarlas -qué sé yo?- en tal mes,
cogerlas en tal otro etc.
Lo curioso es que
la autonomía de las realidades temporales tiene su fundamento
en la teología de la Trinidad...
Ésta es incluso
la doctrina oficial de la Iglesia que rechaza igualmente el
clericalismo y el laicismo (que pretende echar fuera a Dios de
la realidad social). En el mismo pasaje (4, 36) en que la Lumen
Gentium afirma: "ninguna actividad humana puede ser
excluida del dominio de Dios", en este mismo pasaje se añade:
"hay que reconocer que la ciudad terrena, a quien son
confiados los cuidados temporales, se rige por principios
propios".
Y la Gaudium et
Spes (1,3,36): "Si por autonomía de las realidades
terrestres se entiende que las cosas creadas y las mismas
sociedades gozan de leyes y valores propios, que deben ser
conocidos, empleados y ordenados gradualmente por el hombre,
entonces es absolutamente necesario exigir esa autonomía. Y
esto no es sólo una exigencia de los hombres de nuestro
tiempo, sino que es la voluntad del Creador. Por la misma
condición de la creación, todas las cosas son dotadas de
fundamento propio, de verdad, bondad, leyes y orden
específicos. El hombre debe respetar todo esto, reconociendo
los métodos propios de cada ciencia y arte".
En el extremo
opuesto está un Ayyatulah Khomeini(9): "Se suele decir
que la religión debe estar apartada de la política y que las
autoridades religiosas no se deben meter en asuntos de Estado.
(...) Tales afirmaciones son propias de ateos: son dictadas y
diseminadas por los imperialistas. ¿Acaso estaba la política
apartada de la religión en el tiempo del Profeta? (¡Que Dios
lo bendiga a él y a sus fieles!)" (p. 27). "El
Islam tiene preceptos para todo lo que toca al hombre y a la
sociedad. Esos preceptos proceden del Omnipotente y son
transmitidos por su Profeta y Enviado. (...) No hay tema sobre
el cual el Islam no haya emitido su juicio" (p. 19).
"La instauración de un orden político secular equivale
a impedir el progreso del orden islámico. Todo poder secular,
sea cual sea la forma por la que se manifieste, es
necesariamente un poder ateo, obra de Satanás. Es un deber
nuestro extinguirlo y combatir sus efectos. (...) No hay otra
solución sino la de derrumbar todos los gobiernos que no se
asienten sobre los puros principios islámicos, siendo, por
tanto, corruptos y corruptores...) Este es el deber, no sólo
de los iranianos, sino de todos los musulmanes del mundo"
(p.23).
Naturalmente, no
todos los musulmanes piensan así, pero hay en el Islam una
inclinación para la confusión entre lo religioso y lo político.
Como también una cosa es la doctrina oficial de la Iglesia y
otra -muy distinta- la escasa conciencia que muchos católicos
tienen de la autonomía de la realidad temporal...
El Islam tiende a
reducir lo temporal a lo religioso. Al contrario del
cristianismo, el Islam afirma una absoluta trascendencia de
Dios (trascendencia subrayada por la doctrina mu'atazilita,
oficial en la época de al-Khwarizmi) y una revelación
dictada, "bajada" (en árabe, el verbo nazala,
que se aplica a la revelación divina, significa además -y
originariamente-"bajar").
La revelación de
Allah y su tawhid están indicadas por señales
en el(10) mundo. Y el princípio de la unidad no se aplica sólo
a la política, sino también a las ciencias. Primeramente,
las ciencias están a servicio de la fe(11), no sólo como señales
místicos de Dios sino ante todo de un modo práctico: una
sociedad bajo la fuerte y urgente necesidad de obedecer a las
leyes del Altísimo, necesita operacionalizar -tornar
operativas...- las soluciones de los graves problemas de
repartición de herencia.
El Álgebra es una
ciencia que nace para dar solución a ese problema planteado
por el Corán(12).
Caben aquí un par
de sugerentes observaciones:
1) Es
significativo el hecho de que precisamente la parte dedicada a
problemas prácticos de herencia -la parte III del Kitab-,
que ocupa más de la mitad del libro de Al-Khwarizmi, es
suprimida en las traducciones latinas -de mediados del siglo
XII- de Roberto de Chester -en Segovia- y de Gerardo de
Cremona, en Toledo).
2) El Álgebra de
Al-Khwarizmi es completamente retórica y no emplea símbolos:
Los números simples son designados por dirham, la
unidad de moneda (el dólar, diríamos hoy día); la incógnita,
el x, se designa por la palabra árabe xay', cosa,
y, si es de orden cuadrada, mal (riqueza, bienes,
fortuna).
Pero volvamos a
los enlaces de ciencia y fe. De un modo intrínseco: "el
principio de la tawhid, el punto capital de la
experiencia islámica de Dios, excluye la separación entre
ciencia y fe. Si todo, en la naturaleza, es ayyat 'señal'
de la presencia divina, el conocimiento de la naturaleza se
torna (...) un acceso a Dios. (...) La sabiduría de la fe
anuda, integra todas las ciencias en un conjunto orgánico,
pues todas tienen un objetivo en el mundo que, en su
totalidad, es una 'teofanía', una revelación de los 'señales
de Dios'. El universo es un 'ícono' en el cual el Uno se
revela por medio del múltiplo por mil símbolos"(13).
En ese sentido, el
Álgebra cobra extraordinaria importancia como instrumento de
enlace entre las ciencias. Refiriéndose a la época en que
surge el Álgebra de Al-Khwarizmi, Roshdi Rashed dice:
"El comienzo del siglo IX es un
gran momento de expansión de la matemática helenística
en lengua árabe. Ahora bien, es precisamente en ese período
y en ese ambiente (lo de la "Casa de la Sabiduría"
de Bagdad) que Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi escribe un
libro com materia y estilo nuevos: nace el Álgebra como
disciplina matemática distinta e independiente.
Tal surgimiento -y ya los contemporáneos
se dan cuenta de eso- fue de importancia crucial, sea por
el estilo de esa matemática por la ontología de su
objeto y, todavía más, por la riqueza de
posibilidades que con ella se abren. El estilo es, a la
vez, algorítmico y demostrativo y, con esa álgebra,
inmediatamente se deja entrever la inmensa potencialidad
que las Matemáticas tendrán desde entonces: la aplicación
mutua entre las asignaturas matemáticas"(14).
4. El Álgebra en el sistema
lengua/pensamiento árabe.
No sólo con la
religión: el Álgebra se relaciona además -de modo más o
menos directo- con el -para emplear la expresión de Johannes
Lohmann(15)- sistema lengua/pensamiento árabe.
Analizando, pues,
la lengua podremos tener una mejor comprensión de aspectos
del Álgebra como ciencia árabe y de su evolución (en
contraposición a la Geometría, como ciencia griega).
Un importante
primer punto en las relaciones entre lengua y "forma de
pensamiento" (Lohmann) es la de que "lo que importa
no son las lenguas en sí, sino las lenguas en la medida en
que predeterminan una cierta concepción de mundo para el
hablante, o como dice Heidegger, eine Erschlossenheit des
Daseins"(16).
O sea, que, de algún
modo, el alcance del pensamiento se condiciona por el
lenguaje. No sólo por el mayor o menor número y acuidad de
conceptos y potencial expresivo de los vocábulos, sino también
(y sobre todo) por las estructuras peculiares de cada lengua o
familia de lenguas. Así cabe hablar de sistema
lengua/pensamiento, que, en el caso del griego, es justamente
designado por logos y, en el caso del árabe, por ma'na.
"El concepto
de ma'na, 'intencionalidad'(17), es tan característico
de la forma árabe de pensamiento, como lo es la noción específica
del termino griego logos, en su concepción original,
para la forma de pensamento del griego clásico. Y, además,
precisamente por esas dos nociones, o, por decirlo así, bajo
el influjo de esas dos nociones, es que estas dos formas de
pensamiento, encarnadas, cada cual en su lengua -el griego clásico
y el árabe clásico- se han expresado en filosofía"(18).
Y podemos añadir: se han expresado además en Álgebra y
Geometría.
El sistema griego,
logos, busca establecer una exacta correspondencia
entre pensamiento y realidad. Correspondencia biunívoca ya
programáticamente establecida por Parménides quando afirma: Tò
gàr auto noein estin te kaì einai ("Pensar y ser
son lo mismo").
Tal pretensión de
pensamiento es posibilitada por diversos fenómenos de
lenguaje. Señalemos solamente dos para poder hacer el
contraste con el árabe.
1) Contrariamente
al árabe, en el centro semántico del sistema griego,
"se encuentra el verbo esti (ser), que, según
Aristóteles, está implicitamente contenido en cualquier otro
verbo"(19). El verbo ser, característica central del
sistema logos (y de todo el indoeuropeo), permitiría
el enlace exacto entre la realidad misma y el pensamiento: por
el verbo ser, el pensamiento homo-loga el real.
Un ejemplo nos
ayudará a compreender esa relación. Supongamos que vengan
aquí los expertos en normas de seguridad contra incendio que
van a homo-logar esta edifícación. Entonces, hay una
norma ideal que prescribe -¿qué sé yo?- que haya tantos y
tales extintores, que haya tantas y tales salidas de
emergencia etc. Ellos disponen de un logos, de un
cuerpo de normas técnicas racionalmente establecidas e,
inspeccionando una edificación, van a verificar si la realidad
(la presencia de tantos y tales extintores, de puertas metálicas
etc.) de aquella edifícación está en el mismo logos
(homo-logos) de la norma. De este mismo modo, para el
sistema griego, el pensamiento está en homo-logia con
la realidad.
2) La lengua
griega flexiona temas (mientras el árabe flexiona la misma
raiz de una palabra). En el ejemplo tradicional de las gramáticas
elementales de latín (y, obviamente, al griego le pasa
igual), el radical ros de rosa permanece fijo, pues una
rosa es una rosa; cualquier otro factor (cualquier cosa
que le sobrevenga a la sustancia rosa, su relacionamento con
el mundo exterior, sus calidades etc.): del color de la rosa
(genitivo) a la mosca que en ella se asienta (ablativo), se
registra en las desinencias rosam, rosarum, rosae
etc.
Pero el radical
(que corresponde a la ousía, a la substantia)
permanece intocado.
Con el árabe,
todo es distinto: para el árabe no hay radicales fijos: el
radical trilítere -por ejemplo: S-L-M- es intra-flexionado:
SaLaM; iSLaM; SaLyM; muSLiM etc.
Lohmann interpreta
este hecho del modo siguiente:
"El árabe, como el semítico en
general, de una parte; y el griego, de otra, establecen
relaciones con el mundo respectivamente por el oído y por
el ojo. Tal hecho ha conducido el hablante semita a una
preponderancia de la religión, mientras el griego se
volvió el inventor de la teoría. De ahí decorre (o ¿procede...?)
una diferencia análoga de las correspondientes lenguas,
cuanto a su tipo de expresión. Cada uno de eses dos tipos
se caracteriza por un procedimiento gramatical específico:
flexión de raízes en el semítico y flexión de temas en
el indoeuropeo antiguo".
La omnipresencia
del verbo ser y la flexión de temas, como agudamente indica
Lohmann, favorecen un sistema logos
("ocular", "especular") de correspondencia
exacta entre pensamiento y realidad que, como veremos, es
característica también de la Geometría griega.
El árabe se
inclina hacia el sistema ma'na -pensamiento
"auricular", "pensamiento confundente"(20)-
por la ausencia de las amarras del verbo ser como verbo de
ligación, por la indeterminación semántica de sus radicales
trilíteres etc. Hay, así, una despretensión de alcanzar la ousía,
la substantia. Tal despretensión es confirmada por la
religión y, en especial, por la doctrina mu'atazilita, el
pensamiento teológico impuesto oficialmente por Al-Ma'amun en
Bagdad. Se pueden aplicar al Álgebra las consideraciones de
Lohmann sobre la "distorción" en la recepción de
la filosofía griega por los árabes y, especialmente, por
Averroes:
"(Un aspecto) que se debe tener en
cuenta para compreender la intención del Comentador (en
su interpretación de Aristóteles) es la noción de essentia
(como traducción de la palabra árabe dhat). Dhat
-concepto profundamente enraizado en el aristotelismo árabe
en la especulación teológica islámica del siglo IX, en
Bagdad- es la esencia de Dios, en oposición a sus
atributos, por cuya mediación, se habla de Dios en el Corán.
La esencia de Dios, según la doctrina mu'tazilita
es absolutamente trascendente en oposición a esos
atributos. Esa trascendencia absoluta de Dios -expresa por
la noción dhat y traducida en latín por essentia-,
en oposición a todas las nociones descriptivas (sifat,
en árabe) (...) se volvió una trascendencia de la cosa
real en relación al intelecto humano".
A todo eso, añádase
el criterio -por cierto no casual- de selección de fuentes
del mismo Al-Khwarizmi. Solomon Gandz, el moderno editor de
Al-Khwarizmi, considera esencial, en el fundador del Álgebra,
su carácter oriental, no-griego y aún anti-griego. Vale la
pena transcribir su introducción al capítulo "Mensuración"
del Kitab:
Al-Khwarizmi, el antagonista del influjo
griego
En la universidad de Bagdad, fundada
por Al-Ma'a-mun (813-33), la Bayt al-Hikma,
donde Al-Khwariz-mi trabajó bajo el patrocinio del
Califa, floreció también un antiguo compañero suyo, Al-Hajjaj
ibn Yu-suf ibn Matar. Este era el jefe de la
corriente favorable a la recepción de la ciencia griega
por parte de los árabes. Ha dedicado toda su vida a
traducir al árabe las obras griegas. Aún en el califato
de Harun al-Rashid (786-809), Al-Hajjaj había
traducido Los Elementos de Euclides (...).
Posteriormente (829-830), tradujo el Almagesto.
Ahora bien, Al-Khwarizmi nunca menciona a su colega y ni
siquiera sus obras. Euclides y su Geometría, aunque
disponibles por la buena traducción de su compañero, son
de todo ignorados por Al-Khwarizmi, cuando él escribe
sobre Geometría. Y en el "Prefacio" de su Álgebra,
Al-Khwarizmi claramente enfatiza su propósito de escribir
un tratado popular que, al contrario de las matemáticas
teóricas griegas, sirva a fines prácticos del pueblo en
sus negocios de herencias y legados, en sus asuntos jurídicos,
comerciales, de explotación de la tierra y de escavación
de canales. Al-Khwarizmi es todo lo contrario de un discípulo
de los griegos: es el adversario de Al-Hajjaj y de
la escuela griega. Él es el representante de las ciencias
populares nativas. En la Academia de Bagdad, Al-Khwarizmi
representa una reacción en contra de la introducción de
las matemáticas griegas. Su Álgebra produce una impresión
de protesta contra la traducción de Euclides y contra
toda la tendencia de acogida de las ciencias griegas(21).
5. Árabe x Griego: los conceptos de razón
y proporción
La geometría
griega es el modelo acabado del sistema griego, de una
"lengua de visión", en correspondencia, tanto
cuanto posible, biyectiva con lo real.
Ese "tanto
cuanto posible" impone sus límites: en la matemática
griega, no encontraremos el número cero (el cero no tiene
correspondiente-logos con lo real) y es conocido el escándalo
histórico que se produce tras la descubierta de la
incomensurabilidad de grandezas (el número irracional, ¡para
los griegos a-logos!, entra en contradicción con el
mismo sistema de pensamiento). Por otra parte, Euclides(22)
afirma que el uno es la realidad y la unidad es aquello
por lo cual se dice, de cada uno de los entes que son, que es
uno.
Bien distintas son
las cosas para el árabe: su sistema lengua/pensamiento no es logos,
sino ma'na: prevalece no la pretensión de que el
lenguaje acompañe pari passu el ente, sino el sentido
mental (intentio, ma'na), independiente de la
correspondencia-logos con lo real.
De ahí que la
ciencia árabe, por antonomasia, sea el Álgebra (con cero y números
negativos etc.). Y lo irracional, en la incomensurabilidad
geométrica, es aceptado con total naturalidad por el árabe.
Es oportuno en ese
sentido describir -aunque de modo breve- la superación del
sistema logos en el caso paradigmático de la acogida
árabe de los conceptos matemáticos de razón y proporción(23).
Esa superación
tiene un importante marco en el famoso matemático y poeta
Omar Khayyam, que abre el camino para el establecimiento de
los números irracionales.
Para analizar los
conceptos de razón y proporción en los Elementos,
comencemos por la observación de Heath: "Es digno de
atención, el hecho de que la teoría de las proporciones
recibe doble tratamiento en Euclides: se refiere a grandezas
en general, en el libro V, y sólo al caso particular de números,
en el libro VII"(24).
Para Heath,
Euclides sigue la tradición: reproduciendo la antigua teoría
de proporciones (anterior a la crisis de los incomensurables)
y también la nueva, atribuída a Eudoxo (la del libro V).
Esta definición (V, def. 5) afirma: "Se dice que
magnitudes están en la misma razón -la primera para la
segunda y la tercera para la cuarta- cuando: para qualesquiera
equimúltiplos que sean tomados de la primera y de la tercera
comparados a qualesquiera equimúltiplos que sean tomados de
la segunda y de la quarta; los primeros equimúltiplos
coinciden en superar (o igualar o inferar) los segundos equimúltiplos
respectivamente tomados en orden correspondiente".
Vuillemin hace
notar que esta teoría permite eludir el problema de los
irracionales(25): el concepto de razón se subtrae al ámbito
de la medida (y se evita, por tanto, el escándalo de los
incomensurables).
Y es precisamente
esa definición de razón la que será objeto de crítica por
parte de Omar Khayyam: para él, Euclides no hubiera atinado
con el verdadero significado de razón, que se
encuentra en el proceso de medida de una grandeza por
otra(26).
Así, Omar Khayyam
define A:B = C:D
"Todos los múltiplos de la
primera son retirados de la segunda, hasta que se llegue a
un resto menor que la primera e, igualmente, todos los múltiplos
de la tercera son retirados de la cuarta, hasta que se
llegue a un resto menor que la tercera. Y el número de múltiplos
de la primera en la segunda es igual al número de múltiplos
de la tercera en la cuarta. Y más: se extrae de la
primera, todos los múltiplos del resto de la segunda,
hasta obtener un nuevo resto menor que el resto de la
segunda e igualmente, se extrae de la tercera, todos los múltiplos
del resto de la cuarta, hasta obtener un nuevo resto menor
que el resto de la cuarta. Y el número de múltiplos del
resto de la segunda es igual al número de múltiplos del
resto de la cuarta. Etc.
Y, así, ad infinitum. Entonces,
la razón entre la primera y la segunda es necesariamente
la que se da entre la tercera y la cuarta. Esta es la
verdadera proporcionalidad a modo geométrico"(27).
Este proceso -ya
mencionado por Aristóteles- es lo que los griegos llaman antanairesis
o antiphayresis:
La cantidad menor,
digamos B, es sustraída de A, con resto R1.
Y así R1 = A - q1B.
Enseguida, R1 es
sustraído -tanto cuanto posible- de B:
R2 = B - q2R1,
Y de ese modo se
procede indefinidamente...
Tras afirmar la
excelencia de la antiphayresis, Omar Khayyam plantea la
cuestión decisiva para el establecimiento de los números
irracionales: si la razón debe ser entendida como un tipo de
número.
Desprendidos del
enraizamiento griego en la correspondencia
pensamiento/realidad, autores árabes como Nasir ad-Din at-Tusi
no tendrán inconveniente en considerar todas las razones (y
los irracionales, como límites de las antiphayresis)
como números.
Una tal acogida sólo
es posible en sistema ma'na...