De las relaciones lógicas
entre dos o más proposiciones.
93.
Nexo. Hasta ahora hemos visto las proposiciones enunciativas consideradas
en sí , esto es, absolutamente. Resta ahora que las estudiemos comparadas entre
sí. De donde surgen las siguientes principales propiedades relativas, que
atañen al recto uso de las proposiciones: la oposición, la equipolencia, la conversión, de las cuales brotan los diversos
modos de deducir una proposición de otra,
y se llama ilación inmediata. De
estos trataremos ahora por
orden.
Sabemos ya que las proposiciones
se dividen por razón de la cantidad en universales y particulares, y por razón de la cualidad esencial en afirmativas
y negativas; de donde cuatro pueden ser las conjunciones que se dan entre
ellas: afirmativa universal, negativa universal, afirmativa particular y
negativa particular. Estas cuatro son representadas por los antiguos
lógicos con las letras A, I, E, 0. (afirmo y niego), de tal modo que la
"A" signifique afirmativa
universal, la “I” afirmativa particular, la "E" negativa
universal, y la "0" negativa particular. Todo esto queda expresado
en el conocido dístico:
Afirma la A. niega la E, y
ambas en general.
Afirma la I, niega la 0,
pero ambas en particular.
Artículo I
De la oposición de las
proposiciones.
94. Dos proposiciones pueden proponerse de
múltiples formas. En primer término, cuando tratan acerca de una cosa
totalmente distinta, y por tanto no son opuestas con una norma fija, ni
propiamente opuestas, sino más bien se dicen distanciadas o separadas. En segundo lugar, cuando dicen en realidad
cosas opuestas con distintos vocablos, y se llaman opuestas
por razón de la materia. Por último, en tercer término, cuando no se da
la misma construcción o la misma forma con los mismos vocablos, y esta propia
oposición es de la que trataremos. Losada la define as: "Repugnancia
lógica formal de dos proposiciones que afirman y niegan lo mismo acerca de lo
mismo".
Se dice repugnancia lógica, no
real, porque procede de la verdad o falsedad de ellas; se llama formal,
porque procede de la sola forma en cualquier tipo de materia; se dice de dos
proposiciones que afirman y niegan lo
mismo acerca de lo mismo, porque los términos deben ser los mismos, aunque
varíe la cantidad.
Oposición de las proposiciones simples. En el siguiente esquema aparecen todas las oposiciones posibles:
|
Contrarias |
|
||
S u b a l t e r n a s |
A Todo cuerpo es pesado
|
A es Contraria a O y I es Contraria a E
|
E Ningún cuerpo es pesado
|
S u b a l t e r n a s
|
I Algún cuerpo es pesado
|
O Algún cuerpo no es pesado
|
|||
|
Subcontrarias |
|
De donde se da una verdadera oposición entre las proposiciones
contradictorias (la máxima) y las contrarias; se da oposición aparentemente
entre las subcontrarias, y no se da ninguna oposición entre las subalternas.
95. La
oposición contradictoria se da entre las proposiciones que difieren
por la cantidad y la cualidad. de las cuales una solamente niega cuanto se
requiere y es suficiente para destruir la verdad de la otra. Así pues, entre A
y O y entre E e I.
La ley de éstas es: Las contradictorias, ni pueden ser al mismo tiempo verdaderas, ni
pueden ser al mismo tiempo falsas; de donde, de la verdad de una se sigue la falsedad
de la otra; y al contrario, de la falsedad de la una se sigue la verdad de
la otra. Entre ellas no se da un tercer término (lo cual es el principio del tercer término excluido)
Por el contrario, la oposición
está vigente entre aquellas proposiciones universales que difieren por la cualidad. Por tanto, una niega a la otra, pero
niega más de lo que se requiere para destruir la verdad de la otra. Se da entre A y E.
La ley de éstas es: no pueden al mismo ser verdaderas, pero al mismo tiempo pueden ser
falsas. De donde, de la verdad de una se sigue la falsedad de la otra, pero de
la falsedad de una no se sigue nada.
Con éstas están coordinadas la subcontrariedad y la subalternación,
que propiamente no indican oposición.
Las oposiciones subalternas
difieren solamente en la cantidad: A-I
y E-O, y pueden ser al mismo tiempo verdaderas o al mismo tiempo falsas, pero no
necesariamente. De donde, a) de la verdad del universal se deduce la
verdad del particular, pero no al contrario; b) de la falsedad del
particular se deduce la falsedad del universal, pero no al contrario.
Las proposiciones
subcontrarias son particulares que difieren en la cualidad: I y O. y no pueden al mismo tiempo ser
falsas, pero pueden al mismo tiempo ser verdaderas en materia contingente (no
esencial). De donde, de la falsedad de una se sigue la verdad de la otra, pero
de la verdad de una nada se sigue en materia contingente.
En cuanto a la proposición
singular, se ha de tener en cuenta que ésta misma propiamente equivale a la
proposición universal en relación a todas estas proposiciones.
96. oposición
de las proposiciones compuestas. La oposición propia solamente se da en las
proposiciones contradictorias y contrarias, como se ha visto. En las simples,
claramente aparece cuál es la contraria, cuál la contradictoria; no as en las
complejas y compuestas a causa de la estructura más difícil de las mismas.
Ahora bien. como quiera que muchas veces es necesario saber cuál es la
contradictoria, como, v.g., en teología, en la cual, de aquella que ha sido
condenada como herética, su contradictoria aparece como de fe, y de modo
semejante en las ciencias, será oportuno decir algo de éstas.
Ahora bien, la regla general para
hallar la proposición contradictoria a alguna proposición compuesta es la
siguiente: solamente y no más debe negarse o afirmarse cuanto se requiere y es
suficiente para destruir su verdad o falsedad. Si en cambio se niega o se afirma
algo más, la proposición compuesta que surgirá será contraria. Todo esto es
necesario aprenderlo con una atenta consideración y un atento ejercicio, mejor
que exponer una explicación a base de muchas reglas.
97. Sin embargo, a amanera de ejemplo, podemos
tener lo siguiente a la vista:
a) En una proposición
singular o equivalente a ella, la contradictoria se
realiza simplemente añadiendo la partícula "no", v.g.,
"Sócrates es buen filósofo"; la contradictoria: "Sócrates no
es buen filósofo". La contraria en cambio, sería la universal, cambiada
la cualidad: ningún hombre es buen filósofo.
b) En la proposición compuesta o compleja, la
proposición contradictoria puede realizarse poniendo delante de toda la
proposición la partícula “no” , y así surge la proposición que se puede
presentar. Pero se realiza más distintamente resolviendo la contradictoria en
las simples de las cuales consta, y las cuales se niegan y se unen con la
partícula "ya ... ya", v.g., "Pedro y Pablo han muerto",
así: "o ya Pedro no ha muerto, o ya Pablo no ha muerto". A veces debe
cambiarse la cantidad de la proposición incidental, a veces no, como se verá
por el sentido mismo.
c) En la
proposición condicional se realiza el cambio en su contradictoria negando
el nexo entre la condición y el condicionado; por tanto, no por medio de la
condicional, v.g.: "Sí el mundo ha sido creado, no es eterno"; la
contradictoria: "si el mundo no ha sido creado, no es eterno", que es
igual a que el mundo ha sido creado y es eterno. La contraria en cambio:
"Si el mundo ha sido creado, es eterno.
La proposición modal se hace contradictoria si se niega el modo. Las oposiciones se niegan
en el siguiente esquema:
|
Contrarias |
|
||
S u b a l t e r n a s |
Es necesario ser (Es imposible no ser) |
x |
Es imposible ser (Es necesario no ser) |
S u b a l t e r n a s
|
Es posible ser (No es imposible ser) |
Es contingente ser (No es necesario, es imposible |
|||
|
Subcontrarias |
|
De igual manera, en las proposiciones
complejas que contienen adverbios de
espacio y de tiempo:
|
Contrarias |
|
||
S u b a l t e r n a s |
Siempre es En todas partes es |
x |
Nunca es (Siempre no es) En ninguna parte es (En todas partes no es) |
S u b a l t e r n a s
|
Alguna vez es En alguna parte es |
No siempre es (Alguna vez no es) No en todas partes es (En alguna parte no es) |
|||
|
Subcontrarias |
|
Artículo II
De la equivalencia de las proposiciones.
98. Equivalencia
en general es la misma fuerza de significar que procede de la equivalencia
de los signos, v.g., "el niño es inocente" equivale a "el niño
no tiene pecados".
Equivalencia lógica, de la cual únicamente hablamos aquí, es la equivalencia
de significación de dos proposiciones, que como quiera que constan de]
mismo predicado y del mismo sujeto, difieren en una u otra negación, v.g., no
todo hombre es sabio" y "algún hombre es sabio".
Las reglas de la equivalencia lógica de las proposiciones simples están
contenidas en el siguiente verso: Delante
de contradictorias; detrás de contrarias; delante y detrás de subalternas.
Expliquemos cada uno de los apartados:
Delante de contradictorias significa que la negación debe ponerse delante del
sujeto de la proposición para que se haga equivalente con su contradictoria,
v.g.:
"Todo hombre es sabio" (A). "No todo hombre es
sabio", esto es, Algún hombre no es sabio" (O).
"Algún, hombre es sabio" (I). "No algún hombre es
sabio", esto es, "ningún hombre es sabio". Y así sucesivamente.
Detrás de contraria significa que la negación debe posponerse al sujeto de la proposición
universal para hacerse equivalente de su contraria, v.g.:
"Todo cuerpo es pesado" (A). "Todo cuerpo no es
pesado", esto es, "ningún cuerpo es pesado" (E).
De donde, para hacer equivalentes dos contrarios, debe posponerse la
partícula, no el sujeto de una proposición.
Delante y detrás de
subalternas significa que la negación debe anteponerse y
posponerse al sujeto de la proposición para que se haga equivalente a su
subalterna, v.g.:
"Todo hombre es sabio" (A). "No todo hombre no es
sabio", esto es, algún hombre es sabio" (I).
En las proposiciones compuestas, bien modales, bien complejas, es
menester proceder de un modo casi semejante con las partículas de universalidad
de lugar, de tiempo, etc. Pues la negación debe anteponerse, 0 posponerse, o
anteponerse y posponerse al modo o al adverbio, a fin de que, o bien las
contradictorias, o las contrarias, o las subalternas, se hagan equivalentes.
Artículo III
De la conversión de las
proposiciones.
99. conversión
de la proposición significa lo mismo que cambio de la proposición. y se realiza mediante el cambio de lugar
entre el sujeto y el predicado, de tal modo que lo que era sujeto en la primera,
en la otra sea predicado, y viceversa, permaneciendo sin embargo la verdad. La proposición que se cambia,
antes de cambiarse, se llama conversible,
y después de cambiada, se llama conversa
o convertida.
Aparece inmediatamente que tal conversión es posible por la naturaleza
del juicio y de la proposición misma; pues como quiera que se dé identidad
entre el sujeto y el predicado, es lo mismo que decir que A es B y que B es A.
Sin embargo, al no ser una identidad matemática, sino una identidad de suyo
material, de tal modo que la relación del sujeto respecto al predicado no es
absolutamente la misma que la relación del predicado respecto al sujeto,
absolutamente no todas las proposiciones pueden convertirse, sino mantenidas
algunas reglas a fin de que se guarde la verdad; para esto se requiere que la
proposición conversa no diga más que la que se va a convertir.
Clases de conversión. Así pues, se puede considerar una triple clase de conversión: dos
propias, a saber, conversión simple y "per accidens", y otra
impropia, a saber, conversión por contraposición.
100. Conversión
simple. esto es, "in terminis",
es aquella en la cual se cambia simplemente el sujeto y el predicado,
permaneciendo la misma cantidad de proposición, v.g., ningún hombre es piedra
(E), así ninguna piedra es hombre (E).
Esta conversión solamente es
posible de suyo en la proposición universal negativa y en la particular
afirmativa: E. I; v.g., algunos hombres son sabios: algunos sabios son
hombres.
Sin embargo, por razón de la
materia. la simplemente convertible es una universal afirmativa que contiene la definición de la cosa (según
las reglas de una definición correcta - n. 80).
Conversión "per
accidens" o en parte es aquella en la cual se
cambia la cantidad de la proposición, v.g., "todos los hombres son
mortales", así algunos mortales son hombres (A - I).
Así puede convertirse la proposición
universal afirmativa (A) y la universal negativa (E). v.g.: "ningún
hombre es piedra" (E), así "alguna piedra no es hombre" (O). Y
la razón es porque el predicado en la proposición afirmativa es particular y
en la negativa, universal (véase n. 81). Por tanto, se ha de procurar que
alcance mayor extensión la proposición convertida que la que se va a
convertir; en otro caso, acerca de algunos predicaríamos algo en contra de la
verdad.
Conversión por contraposición o impropia.
la proposición "O”, particular
negativa, no es capaz de ninguna conversión propia sin que la extensión
del predicado se cambie y sea contra la verdad. Los lógicos encontraron algún
modo impropio de conversión que conviniera a esta proposición, y la llamaron por
contraposición. Se realiza anteponiendo al predicado la partícula
"no" y cambiando la cualidad de la proposición, de donde resulta una
proposición indefinida, v.g., algún hombre no es sabio" (O), de este
modo: "alguien no sabio es hombre" (I).
Así también “A” universal
afirmativa, puede convertirse por contraposición, v.g.: "todo hombre
es viviente, del siguiente modo: "todo no viviente no es hombre".
Todas estas reglas de correcta conversión están expresadas brevemente
por los lógicos en el siguiente versículo:
"Feci" se
convierte simplemente.
"Eva" se
convierte “per accidens”.
"Asto" se
convierte por contraposición.
Así se realiza toda
conversión.
Artículo IV
De la ilación inmediata
101. Ilación
inmediata es el acto por el que la mente, de una proposición afirma otra
que se sigue inmediatamente en virtud del nexo que existe entre ellas.
Ahora bien, este nexo se llama consecuencia,
que consiste en que contiene en cierto modo. una proposición a la otra; y
puede ser inmediata, si no necesita
de un tercer término, sino que queda patente por la sola consideración de las
proposiciones; en otro caso será mediata.
102. Todas las ilaciones inmediatas pueden
reducirse a tres tipos:
1) Ilación por
equivalencia. En esta ilación, las proposiciones significan
lo mismo, pero con vocablos de alguna manera diversos.
Regla: Las proposiciones equivalentes son al mismo tiempo verdaderas o al
mismo tiempo falsas. De donde, de la verdad o falsedad de una se deduce la
verdad o falsedad de la otra, v.g., no todos los hombres son sabios, luego
algunos hombres no son sabios.
2) Ilación por
conversión. En ésta, ambas proposiciones significan cosas
distintas, pero con los mismos vocablos.
Reglas: a)
Las proposiciones simplemente convertidas (legítimamente), son al mismo tiempo
verdaderas o al mismo tiempo falsas. De donde, de la verdad o falsedad de una se
deduce la verdad o falsedad de otra, v.g., ningún hombre es piedra; luego,
ninguna piedra es hombre; b) en la conversión "per accidens"
de la universal a la particular, es legítima la ilación de la verdad de la
universal a la verdad de la particular, y de la falsedad de la particular a la
falsedad de la universal , pero no al revés (véase n. 95, donde se habla de la
subalterna) , v.g. , todo hombre es animal ; luego, algún animal (no en cambio
todo animal) es hombre.
103.
3) De la ilación"
por
otros motivos. En
las ilaciones de esta índole las proposiciones significan cosas diversas y con
diversos vocablos. A esta clase pertenecen las ilaciones por oposición; del
predicado al predicado; del sujeto al sujeto; por la modalidad.
1) Ilación por oposición (véase n. 94-5). Por oposición se da ilación, v.g., de la verdad de
una proposición a la falsedad de la contraria o contradictoria; de la falsedad
de una proposición a la verdad de la contradictoria.
2) Del predicado al
predicado, según la relación de extensión y
comprehensión, se dan estas reglas:
a) Es legítima la ilación afirmativa del
término inferior al superior, no en cambio la negativa; v.g., es legítimo
decir: Pedro es hombre, luego, es animal; pero no es legítimo decir: Pedro no
es piedra, luego no es substancia.
b) Es válida la ilación negativa del término
superior al inferior, no en cambio la afirmativa; v.g., es válido decir: la
piedra no es viviente, luego, no es animal; pero no es válido decir: la piedra
es substancia, luego, es hombre.
c) Vale la ilación del predicado privativo al
negativo, Vg. es ciego, luego no ve; pero no al revés, v.g., la piedra no ve,
luego es ciega.
3) Ilación del sujeto al
sujeto, esto es, de una suposición de sujeto a otra.
a) Es legítima la ilación, tanto afirmativa
como negativa, de la suposición distributiva a la particular, v.g., todo hombre
es substancia, luego algún hombre es substancia.
No es legítimo, como aparece claro, de la particular a la común.
b) No es legítima la ilación solamente por
razón de la forma de la suposición distributiva a la colectiva y viceversa,
pero alguna vez es legítima por razón de la materia. Esto depende de la
naturaleza de] predicado respecto de] conjunto; v.g., es legítima: todo el
ejército hizo el viaje durante una' hora, luego, cada soldado hizo lo mismo. En
cambio, no es legítima: cien años son un siglo, luego, cada año es un siglo.
104. 4) Ilaciones por la
modalidad, o sea, a causa del nexo entre estos tres
elementos: el acto, la potencia, la necesidad. Pues el acto supone solamente la
potencia; la necesidad, la potencia y el acto; y la sola potencia no supone
nada.
Es válida la ilación: del ser al poder (del acto a la potencia); en
cambio, del poder al ser, no es válida la ilación.
Del no poder (de la potencia) al no ser (del acto), vale la ilación; del no ser al no poder, no vale la ilación.
De la potencia expedita o dispuesta para obrar, vale la ilación en las
causas necesarias, no en cambio en las libres.
De la potencia de simultaneidad a la simultaneidad de la potencia; pero
no de la simultánea posibilidad a la posibilidad de simultaneidad, v.g., Pedro
ahora puede estar vivo y muerto, luego, ¿está vivo y muerto ahora?
De la tercera operación de
la mente, esto es, del raciocinio.
Capítulo I
De la naturaleza del
raciocinio.
105. Nexo. La
tercera operación de la mente humana es el raciocinio, la cual en verdad es aquella operación a la que se
ordenan todas las otras, y consiguientemente, es la más perfecta de todas. y al
mismo tiempo, es señal de una gran imperfección de la mente humana. Pues su
naturaleza es de tal índole, que ni por la simple contemplación de las cosas,
ni por la comparación de dos conceptos objetivos, aparece a la misma mente la
identidad o diversidad de éstos, y necesita de un nuevo proceso, a saber, de
una nueva comparación de aquellos conceptos con otro tercero, por la cual
finalmente puede ver la identidad o diversidad de aquellos. En un entendimiento
más perfecto, bien en el entendimiento de Dios, bien en el entendimiento
Angélico, tal proceso no se da formalmente, sino que al instante ellos alcanzan
con la simple contemplación de las cosas lo que nosotros llegamos á poseer
tras un largo proceso. Ahora bien, este proceso humano para alcanzar la verdad
se llama raciocinio. Es menester pues
que, con el mismo método que hemos tratado de las anteriores operaciones de la
mente, tratemos también ahora del raciocinio.
Artículo I
De la noción de
raciocinio.
106. Noción de raciocinio. El raciocinio es
aquella operación de la mente por
la cual, establecida la comparación de dos ideas con una tercera, conoce la
identidad o diversidad de ellas entre sí. Y más brevemente: es la operación
de la mente por la cual de dos juicios se deduce un tercer juicio.
En virtud de esta operación, se muestra en la lógica más
extensamente que el entendimiento conoce nuevas noticias de las cuales antes
carecía, y ciertamente, en virtud del nexo entre los dos juicios anteriores.
107. La
materia remota del raciocinio son las tres ideas de las cuales conste;
aquella idea con la que se comparan las otras dos se llama media, y las que se
comparan con la media se llaman extremas;
ahora bien, la materia o elementos
próximos del raciocinio son los tres juicios, de los cuales los dos
primeros afirman la relación entre las ideas extremas y la media, y tomados en
su conjunto se llaman antecedentes; y el tercer juicio afirma la relación de
las dos ideas extremas entre sí, y se llama consiguiente.
Forma del raciocinio es la conexión misma entre el juicio consiguiente y los
dos primeros juicios, esto es, el antecedente. De esta conexión, visto el
antecedente, necesariamente se sigue también la visión del consiguiente como
de algo que fluye, y esta conexión se llama consecuencia.
108. Rectitud
y verdad del raciocinio. Se ha de distinguir entre la rectitud y la verdad
del raciocinio. Pues hay rectitud, si hay legítima consecuencia, esto es, si es
tal la conexión de los juicios que, admitidos los juicios anteriores, debe
admitirse el juicio consiguiente. Y hay verdad, si cada juicio dice aquello que
es en realidad de verdad.
Por tanto, la verdad y la rectitud pueden darse por separado; a saber:
puede darse la verdad sin que se dé la rectitud, y al contrario. Esto puede
mostrarse con los siguientes ejemplos: 1) Todo vicio debe ser evitado;
toda paciencia es un vicio; luego, toda paciencia debe ser evitada. Se da aquí
rectitud (el modo completamente perfecto de la primera figura en
"bárbara"), y sin embargo no se da verdad porque el segundo juicio es
completamente falso. 2) Toda substancia es buena; el árbol no es
substancia; luego, el árbol no es bueno. En este raciocinio falta, tanto la
rectitud como la verdad. 3) Todo hombre es animal; todo hombre es mortal;
luego, todo animal es mortal. En este raciocinio se da verdad "per accidens",
pues de hecho todas las proposiciones son verdaderas; sin embargo, falta
rectitud, ya que el término "animal" en la conclusión tiene mayor
extensión que en las premisas.
Artículo II
Del signo del raciocinio,
esto es, de la argumentación.
109. La
argumentación es el signo externo del raciocinio; muchas veces se toma en
sentido lato como todo el proceso de la demostración. Aquí se entiende: el
discurso en el que una proposición se deduce de otras.
La proposición que se deduce antes de haber sido hecha la
argumentación se llama cuestión; en
cambio, ya en la argumentación, se llama consiguiente
o conclusión. Las proposiciones de las cuales se deduce la conclusión,
tomadas en su conjunto se llaman antecedentes,
y tomadas por separado se llaman premisas.
La consecuencia es el nexo entre la conclusión y las premisas.
110. Silogismo
es una especie de argumentación, que expresa una argumentación simple y
completa, a saber, un raciocinio integro. Y se define por Aristóteles: “Silogismo
es el discurso en el cual, dados ciertos elementos, necesariamente sobreviene
otro distinto de éstos que han sido dados, por el hecho de darse estos elemento”.
O sea, el discurso que consta de tres proposiciones conexionadas entre sí
de tal manera, que dadas dos proposiciones, es necesario que se dé una tercera.
Las restantes argumentaciones pueden reducirse al silogismo. Al igual que en la
argumentación, se dan antecedentes, consiguientes, premisas y consecuencias.
Los términos en el silogismo solamente son tres: aquellos dos que se
separan o se unen en la conclusión se llaman extremos del juicio; el sujeto de la conclusión se llama extremo
menor y el predicado se llama extremo
mayor. el tercer término, con el que se comparan aquellos dos términos
mayor y menor, se llama término medio.
La mayor es aquella premisa en la cual el término medio se compara con el
extremo mayor.
La menor es aquella en la cual se compara con el extremo menor.
En la práctica de la disertación se llama mayor la que se pone en
primer lugar, y menor la que se pone en segundo lugar.
El silogismo en el que se observa la forma se llama silogismo
formado, y se llama silogismo
informe, esto es, sin forma, a aquel que, mantenida la forma de los
argumentos, no se preocupa de la disposición de los términos y de las
proposiciones. Estos silogismos son más frecuentes en la vida racional
corriente.
Artículo III
De
las reglas generales del
raciocinio y de las particulares de los silogismos.
111. Reglas
establecidas en cuanto a la verdad en el raciocinio recto:
1) De un antecedente verdadero no puede seguirse
un consiguiente falso. De donde,
2) Si el consiguiente es falso, por lo menos una
de las dos premisas debe ser falsa.
3) De un falso antecedente puede seguirse, bien
un consiguiente falso ("per se"), bien un consiguiente verdadero
("per accidens"). Por tanto,
4) De la verdad del consiguiente no se deduce
necesariamente la verdad del antecedente.
5) Todo lo que está con el antecedente está
también con el consiguiente, pero no al revés.
6) Todo lo que va en contra del consiguiente, va
también en contra del antecedente, y no al revés. De donde:
7) De lo contradictorio del consiguiente se
deduce lo contradictorio del antecedente si es buena la consecuencia, y no
viceversa.
112. Ocho
reglas del silogismo. Hay muchos que quieren reducir todas a una única
regla que puede enunciarse as: en general, se da consecuencia en el silogismo si
una premisa contiene (virtualmente) la conclusión, y la otra premisa lo
explica. Ahora bien, esta norma, que está patente por la naturaleza misma del
silogismo, puede llamarse regla general de todo silogismo, y explícitamente se
indica en las siguientes reglas conocidas:
1) Tanto
en realidad como por el sentido, los términos sean solamente tres.
2) Los
vocablos en la conclusión deben tener la misma extensión que en las premisas.
3) Es necesario que la
conclusión nunca contenga el término medio.
4) El término medio, o una
vez o dos, debe tomarse en sentido general.
5) las dos premisas
afirmativas no pueden dar una conclusión negativa.
6) Si ambas premisas
niegan, no se sigue nada de ellas.
7) La conclusión siempre
sigue la peor parte.
8) Nada se sigue jamás de
dos premisas particulares.
Las cuatro reglas primeras se refieren a los términos del silogismo,
de tal modo que la primera atañe a los tres términos; la segunda, a los dos
términos extremos; la tercera y la cuarta, solamente al término medio. Las
cuatro reglas últimas se dirigen a las proposiciones, de modo que la quinta se
refiere a la proposición afirmativa; la sexta, a la negativa; la séptima, a la
cantidad y a la cualidad; y la octava, por último, a la cantidad.
113. Se
explican las reglas. la primera regla prohíbe que el silogismo tenga más
de tres términos. Se falta en contra de la misma regla por el hecho de darle al
silogismo cuatro términos, y entonces vulgarmente se dice “que el silogismo
tiene cuatro patas”. puede darse el defecto, bien en realidad, esto es,
manifiestamente, a causa de los cuatro términos realmente distintos, bien en el
sentido, ocultamente, del siguiente modo:
1) Cuando se usa un término equívoco según
las significaciones diversas , v. g. , el toro corre en la plaza de toros; pero el toro es un monte luego el monte
corre en la plaza de toros.
2) Cuándo se cambia la suposición de]
término, v.g. , Pedro es hombre (suposición real); pero el hombre es una idea
universal (suposición lógica); luego, Pedro es una idea universal.
3) Cuando el término medio se emplea dos veces
de forma particular, por las reglas cuarta y octava.
La segunda regla prohíbe que el término tenga en la conclusión mayor extensión que
en las premisas. Pues sólo según aquella parte o aspecto bajo el cual ha sido
comparado en las premisas está permitido emplearlo en la conclusión, pues de
los otros aspectos nada sabemos en virtud de la comparación. Por tanto, es
falso y vicioso: todo círculo es redondo; ahora bien, todo círculo es figura
(alguna); luego, toda figura es redonda.
La tercera regla está clara a simple vista por la noción de silogismo. De donde se
concluiría falsamente: Pablo es filósofo; Pablo es grande; luego, Pablo es
gran filósofo.
La cuarta regla exige que el término medio se tome por lo menos en una premisa en
sentido universal o equivalente, como acontece en los singulares; porque en otro
caso, el término medio, tomado dos veces como particular, equivale o puede
equivaler a dos términos. Así., se concluye falsamente: algún animal es
bípedo; el león es animal (algún animal); luego, el león es bípedo.
La quinta y sexta reglas se muestran fácilmente por la misma naturaleza del raciocinio.
La séptima regla manda que la conclusión siga siempre la parte más débil; ahora bien,
por parte peor se entiende la
negativa por encima de la afirmativa y la particular por encima de la universal.
De donde:
1) Si alguna premisa es negativa, la conclusión
debe ser negativa; esto es manifiesto por la naturaleza del mismo proceso de la
razón.
2) Si una premisa es universal, y la otra
premisa es particular, la conclusión es particular. Esto se prueba del
siguiente modo:
a) Supongamos que ambas premisas son
afirmativas; entonces, los tres términos son particulares en las premisas, a
saber, los dos predicados de las afirmativas y el único sujeto de la
particular; el otro término universal debe ser término medio (regla cuatro),
el cual no puede entrar en la conclusión (regla tercera); por tanto, la
conclusión debe ser particular (regla segunda).
b) Si una es afirmativa y la otra es negativa;
entonces dos términos en la premisas son universales, a saber, el sujeto de la
universal y el predicado de la negativa, y los otros dos, particulares (el
sujeto de la particular y el predicado de la afirmativa); de estos términos
universales, uno debe ser término medio (regla cuatro), el otro, extremo mayor,
porque es el predicado de la conclusión, y universal, ya que la conclusión es
negativa; luego, el otro término extremo menor, a saber, el sujeto de la
conclusión, debe ser particular en las premisas y en la conclusión. Por tanto,
falla el siguiente silogismo: todo
cuerpo es extenso; alguna substancia es cuerpo; luego, toda substancia es
extensa.
La octava regla prohíbe que ambas premisas sean particulares o equivalgan a la
particular. Esto también se prueba del siguiente modo:
a) Si ambas premisas son afirmativas, entonces
todos los términos son particulares, en contra de la cuarta regla, que manda
que el término medio por lo menos una vez sea universal.
b) Si una es negativa y la otra afirmativa,
entonces se da el único término universal en las premisas, el cual debe ser
término medio (regla cuatro); pero además debería ser el término mayor
también universal, porque en la conclusión, como predicado de la proposición
negativa, es universal (regla segunda). Así, falla contra esta regla: algún
hombre es docto; algún hombre es rico; luego, algún docto es rico.
Los términos singulares
equivalen a los universales.
Deben estudiarse adecuadamente los ejemplos que son puestos alguna vez
por los autores como silogismos, que fallan contra estas reglas, de tal manera
sin embargo, que prueban; pues, o bien concluyen "per accidens", por
razón de la materia, o bien sólo aparentemente se da una doble negación, o
bien puede darse alguna explicación semejante.
De las figuras generales
del silogismo y de los modos y reglas de las mismas.
Artículo I
De la noción de figura y
modo.
114. La
figura del silogismo es definida como la disposición o colocación del término medio con los extremos, adecuada
para sacar una conclusión. La figura se encuentra propiamente en las
matemáticas, y de modo transuntivo en el silogismo, y esto a semejanza de la
figura del triángulo.
Se explica la noción: Por la naturaleza del silogismo de suyo no se determina el lugar que
debe ocupar el término medio en cualquiera de las dos premisas, pues se puede
colocar en cualquier lugar, con tal que no se vaya en contra de alguna regla del
silogismo. Y esta disposición diversa se llama figura.
Cuántas son las figuras. Aristóteles propone tres figuras en los primeros analíticos, según
que el término medio: 1) sea el sujeto en la mayor y en la menor el
predicado; 2) sea en la mayor y en la menor el predicado; 3) sea
en ambas el sujeto. Estas figuras se designan con el conocido verso:
La primera, sujeto y
predicado; la segunda, dos veces predicado; la tercera, dos veces sujeto.
Explicación: En la primera figura el término medio es sujeto y predicado; en la
segunda, dos veces predicado, y en la tercera, dos veces sujeto.
A estas figuras se dice que Gallenus (vivió hacia el 131 d.C.)
añadió una cuarta figura, propuesta de un doble modo: 1) de tal modo
que el término medio sea predicado en la mayor y sujeto en la menor, a saber:
"la cuarta, predicado y sujeto"; 2) o de tal modo que el
término medio conserve el lugar como en la primera figura, pero la mayor se
ponga en segundo lugar y la menor en primero.
Este sería el esquema de
las figuras:
I |
II |
III |
IV |
|
M es P S es M |
P es M S es M |
M es P M es S |
M es S P es M |
P es M M es S |
o |
||||
S es P |
S es P |
S es P |
S es P |
S es P |
116. El
modo del
silogismo se define: la
apta disposición de las premisas según la cualidad y la cantidad para sacar
una conclusión.
En verdad, para que se obtenga la rectitud de un silogismo, no sólo
debemos atender a la colocación del término medio, sino también debe tenerse
en cuenta la cantidad y la cualidad.
117. Número
de los modos. Ya antes se ha mostrado (véase n. 93) que las proposiciones,
según la cantidad y la cualidad, se representan por las letras A E I O. Ahora
bien, si solamente atendemos a la cualidad, pueden darse cuatro disposiciones en
cada una de las figuras: ambas afirmativas, ambas negativas, la mayor afirmativa
y la menor negativa, o la mayor negativa y la menor afirmativa. De igual manera,
en estas cuatro disposiciones, si atendemos a la cantidad, se dan cuanto
posibles distribuciones, de donde (4 x 4) dieciséis en cada una de las figuras;
pero, puesto que las figuras son cuatro, los modos posibles son (16 x 4) sesenta
y cuatro.
Ahora bien, la mayor parte de estos modos son imposibles, pues van
contra alguna regla; así, v.g., todos los modos que tienen negativas ambas
premisas regla sexta), o particulares (regla octava). Así pues, no quedan más
que diecinueve modos posibles.
118. Modos
absolutamente posibles en razón de la cualidad y de la cantidad en cada una de
las figuras son:
AAA
AEE
AII
AOO
(EEE)
EAE
EIO
(EOO)
(III)
IAI
IEO
(IOO)
(OOO) OAO
(OEO)
(OIO)
Entre paréntesis se ponen los modos legítimos.
Por razón de la
conclusión recta:
Conclusión
Permanecen
Premisas:
ilegítima:
los modos:
A-A
E, o (r.5)
AAA y AAi
A-i
A (r.7), E, o (r.5)
Aii
A-E
A, i (r.7)
AEE y AEo
A-o
A, i, E (r.7)
Aoo
i-A A
(r.7), E, o (r.5)
iAi
i-E
A, E, i (r.7)
iEo
E-A
A, i (r.7)
EAE y EAo
E-i
A, E, i (r.7)
Eio
o-A
A, E. i (r.7)
oAo
De donde, excluidos los ilegítimos, los modos posibles son solamente
diecinueve; en la primera figura (sujeto- predicado), cuatro; en la segunda (dos
veces predicado), cuatro; en la tercera (dos veces sujeto), seis; y finalmente,
en la cuarta (la galénica), cinco. Todos estos modos son ya indicados por Pedro Hispano en estos versos:
1ª figura: Barbara, Celarent, Darfi. Ferio.
2ª figura: Cesare, Camestres, Festino,
Baroco.
3ª figura: Darapti, Disamis, Datisi,
Felapton, Bocardo, Ferison.
4ª figura: Bamalip. Calemes. Dimatis, Fesapo,
Fresison.
La cuarta figura se propone de modo distinto. Así, v.g., Pesch añade
una quinta figura; en vez de la cuarta figura tiene esta forma:
P
– M
M
– S
S - P
En lugar de la quinta, sin embargo:
M - S
P
- M
S
- P
Se cambian, por consiguiente, los modos, de esta manera:
4ª figura: Bamalipton,
Calemes. Dimatis, Fesapo, Fresisonorum.
5ª figura: Baralipton,
Celantes, Dabitis, Fapesmo, Frisesomorum.
Según Pesch, la cuarta figura pudo ser emitida por Aristóteles,
porque no añade ningún nuevo modo, y la quinta pudo haber sido propuesta con
posterioridad, para considerar todo modo posible.
Artículo II
De las reglas y de la demostración de
1as tres primera figuras
119.
Figura primera (sujeto -
predicado). El término medio es el
sujeto en la mayor y el predicado en la
menor.
Esquema:
M es P
S es M
S es P
Regla: Sea la menor
afirmativa y la mayor general. Esto se prueba del
siguiente modo: 1) La menor debe. ser
afirmativa; en otro caso la conclusión sería negativa, y consecuentemente
su predicado (P) universal, por lo cual la mayor también sería negativa; de
donde, ambas premisas serían negativas (en contra de la regla 6).
2) Puesto que el término medio en la menor, por
lo ya dicho, a fuer de predicado de la afirmativa, es particular, en la mayor,
como sujeto, debe ser universal, a
fin de que no se tome dos veces de modo particular.
De donde, cuatro son los modos
posibles de esta figura: dos afirmativos y dos negativos:
AAA (AAi), EAE (EAo), Aii,
Eio: Barbara, Celarent, Darii, Ferio.
Ejemplo:
Todo cuerpo es pesado.
Es así que el hombre es cuerpo.
Luego, el hombre es pesado. (Barbara)
Ni ningún cuerpo es espíritu.
Es así que toda estrella es cuerpo.
Luego, ninguna estrella es espíritu. (Celarent)
Toda substancia espiritual es inmortal.
Es así que algún alma es substancia espiritual.
Luego, algún alma es inmortal. (Darii)
Ningún cuerpo es eterno.
Es así que algún viviente es cuerpo.
Luego, algún viviente no es eterno. (Ferio)
120. Figura
segunda (dos veces predicado). El término medio es en ambas premisas predicado.
Esquema:
P es M
S es M
S es P
Regla: Una sea negativa y
la mayor general. Esto se explica: 1)
Una sea negativa, porque en otro caso, el término medio sería dos veces
particular, como predicado de las dos afirmativas (en contra de la regla 4).
2) la mayor, general, porque como quiera que su sujeto sea universal en la conclusión, como
predicado que es de la negativa, también debe ser universal en las premisas
(regla 2).
De igual, modo, en esta otra figura, los modos posibles son cuatro, pero todos negativos: .
EAE (EAo), AEE (AEo), Eio,
Aoo: Cesare, Camestres, Festino, Baroco.
Ejemplos:
Ningún animal es piedra. Todo mármol es piedra.
Luego, ningún mármol es animal. (Cesare)
Todo mármol es piedra.
Ningún animal es piedra.
Luego, ningún animal es mármol. (Camestres)
Ningún animal es piedra.
Alguna substancia es piedra.
Luego, alguna substancia no es animal. (Festino)
Todo mármol es piedra.
Alguna substancia no es piedra.
Luego, alguna substancia no es mármol. (Baroco)
121. Tercera figura (dos
veces sujeto). El término medio es en ambas premisas sujeto.
Esquema:
M es P
M es S
S es P
Regla: Sea la menor afirmativa (una de las premisas generales); la conclusión. particular. Esto se muestra as: 1) Sea la
menor afirmativa, por la misma razón que en la primera figura; pues, si
fuera negativa, también la conclusión sería negativa, y por tanto P
universal; por lo cual, la mayor, para
que P sea universal, debería ser negativa (contra la regla 6).
2) La conclusión.
particular. Pues ya que S en la menor es el predicado de
la afirmativa, y consiguientemente particular, no puede poseer mayor extensión
en la conclusión (regla 2).
De donde, los modos posibles de
esta tercera figura son seis:
AAi, EAo. iAi. Aii, oAo, Eio: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi,
Bocardo, Ferison.
Ejemplos:
Todo animal es substancia.
Todo animal es viviente.
Luego, algún viviente es substancia. (Darapti)
Ningún animal es espíritu.
Todo animal es substancia.
Luego, alguna substancia es espíritu. (Felapton).
Algún animal es cuadrúpedo.
Todo animal es substancia.
Luego, alguna substancia es algún cuadrúpedo. (Disamis).
Todo animal es substancia.
Algún animal: es relinchante.
Luego, algún relinchante es substancia. (Datisi)
Algún animal no es relinchante.
Todo animal es substancia.
Luego, alguna substancia no es relinchante. (Bocardo)
Ningún animal es espiritual.
Algún animal es substancia.
Luego, alguna substancia no es espiritual. (Ferison).
122. Cuarta
figura. De doble manera suele proponerse esta figura por los autores, de
donde se dan unos modos un tanto diversos y unas reglas distintas.
a) El primer modo (es llamado por algunos cuarta figura), está propuesto en el siguiente esquema:
P es M
M es P
S es P
Reglas de esta figura:
1)
Si la mayor es afirmativa, la menor que sea universal.
2)
Si la menor es afirmativa, la conclusión sea particular.
3)
Si una es negativa, la mayor sea universal.
Esto se explica brevemente del siguiente modo:
1) Si la mayor es
afirmativa. el término medio, como predicado de la
afirmativa, es particular; por tanto, debe ser universal en la menor como sujeto
(regla 3).
2) Si la menor es
afirmativa, el sujeto, como predicado de la afirmativa, es
particular; por lo cual, también en la conclusión es menester que sea
particular (regla 2).
3) Si una es negativa, P en
la conclusión, como negativa, será
universal; por lo cual, en las premisas, como sujeto de la mayor, será también
universal.
De aquí, los modos posibles en
esta cuarta figura son cinco:
AAi, AEE, iAi, EAo. Eio: Bamalipton,
Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresisonorum.
b) El segundo modo (es llamado por algunos quinta figura), se propone en este esquema:
M es S
P es M
S es P
Reglas de esta figura:
1)
Si la menor es afirmativa, la mayor sea universal.
2)
Si la mayor es afirmativa, la conclusión sea particular.
3)
Si una es negativa,
la menor sea universal.
Las reglas están claras:
1) En otro caso el término medio sería dos veces particular.
2) Porque S en la menor es particular.
3) Porque en la conclusión negativa, P es universal.
En ésta, los modos legítimos son:
Aai, EAE, Aii, AEo, iEo:
Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo, Frisesomorum.
123. Los principios de cada una de las figuras,
que han sido explicados antes por la naturaleza del juicio y de la proposición,
son fácilmente patentes. En cuanto a la primera figura, estos son propuestos
por Pesch:
Para los modos afirmativos:
(P), que contiene
incluyendo (M). contiene también (S) incluido en él.
Para los modos negativos: (P).
que excluye conteniendo (M). excluye
también (S) contenido en él.
Estos modos pueden ser enunciados también de modo pasivo.
Artículo III
De la reducción de los silogismos imperfectos a la primera figura
y
de la demostración indirecta de ellos
124. Reducción a la
primera figura. Entre todas las figuras, la primera es la más noble, a) por su
universalidad, porque es la única que
puede alcanzar la conclusión afirmativa universal "A"; pues la
segunda sólo alcanza una conclusión negativa y la tercera solamente, una
conclusión particular; b), por' su
claridad, puesto que los términos alcanzan en ésta su lugar natural , ya
que lo que en la mayor se afirma o se niega de todo "M", esto se
afirma o se niega en la conclusión de algún "M", a saber, de todo o
algún "S", según se dice en la menor que todo o algún "S"
es algún "M", según los principios: lo dicho de todo ... o lo dicho
de nadie ...
Las restantes figuras, aunque demuestren suficientemente y no tan
claramente la cosa, producen silogismos imperfectos. De donde Aristóteles
intenta reducirlos a la primera figura; ahora bien, deben tenerse en cuenta
algunos datos para que tal reducción se haga legítimamente, los cuales datos
se indican de modo artificioso en los mismos vocablos de los modos.
1) Pues las letras consonantes iniciales B C D
F, indican el modo de la primera figura, a la cual debe reducirse el silogismo;
a saber, aquel modo que empiece con la misma letra consonante, v.g., Felapton al
modo Ferio, Cesare al modo Celarent.
2) La letras consonantes S y P indican que la
proposición significada debe convertirse a la vocal precedente; la S
simplemente y la P "per accidens", v.g., Datisi a Darii, de donde la
menor debe cambiarse simplemente; Darapti a Darii, de donde la menor debe
cambiarse "per accidens".
3) La letra M significa que la mayor debe
permutarse con la menor, v.g., Camestres que se reduce a Cesare, y de aquí a
Celarent.
4) La letra C, finalmente, v.g., en Baroco,
Bocardo muestra que los silogismos de esta índole no pueden reducirse a Barbara,
sino solamente por la deducción al imposible.
Todo esto queda indicado en
el dístico siguiente:
S quiere cambiarse
simplemente; en cambio P quiere cambiarse “per accidens”; M quiere
trasladarse y C quiere ser llevado mediante lo imposible.
125. reducción
indirecta por la deducción al imposible. Se realizan los silogismos Baroco
y Bocardo, en los cuales, una de las premisas puede ser mantenida, y la
proposición contradictoria de la conclusión se emplea como otra premisa. Ahora
bien, se indica con la letra "o" cuál es la premisa que debe ser
omitida, a saber, en Baroco la menor y en Bocardo la mayor. Sirva
de ejemplo el siguiente:
Toda virtud es buena. Es así que alguna ira no es buena. Luego, alguna
ira no es virtud.
El contrario concede la mayor y la menor, pero niega el consiguiente y
la consecuencia. Entonces, lo contradictorio del consiguiente será verdadero, a
saber, toda ira es virtud; de donde
resulta este silogismo:
Toda virtud es buena. Es así que toda ira es virtud. Luego, toda ira
es buena.
Ahora bien, esta conclusión es contradictoria de la menor concebida
antes. De aquí queda claro que el primer silogismo, cuya consecuencia se
rechazaba, debe ser admitido como legítimo.
De las figuras geométricas
de los silogismos:
126. El uso de las figuras geométricas de los
círculos para mostrar la consecuencia de los silogismos, es frecuente entre los
autores desde el tiempo de Descartes. Christian Weise (1708) es el primero que
es encomiado entre los que usaron este método. Pero ya es bosquejado este
método por el mismo Aristóteles en algunos lugares.
Las proposiciones pueden
representarse así:
P
A S
o
SP
= S es P
E S
P
= S no es P
I S
P
= Algún S es P
O S
P
= Algún S no es P
Ejemplos: El modo de la
primera figura (Barbara), puede reproducirse de cuatro maneras:
1.
S M P
2.
SM P 3.
S MP
4. SMP
Todo viviente es substancia.
Todo hombre es viviente.
Luego, todo hombre es substancia. (Este ejemplo es para el
l.)
Todo hombre es animal racional.
Todo risible es hombre.
Luego, todo risible es animal racional. (Este ejemplo es para el 4.)
En los restantes modos y figuras puede procederse de igual manera; pero
su importancia no es grande para que debamos detenernos más en ello.
127. Ejercicios.
Es menester ahora hacer muchísimos ejercicios acerca del modo, figura y
conversión o cambio a la primera figura, de muchos silogismos, según las
reglas propuestas, pues así se ejercita todo lo que hemos visto hasta ahora. Ahora
bien, en el ejercicio de esta índole se debe proceder del siguiente modo:
1) Se proponga algún
silogismo.
2) Sea repetido íntegra y
fielmente por el discípulo.
3) Sea examinada por el
mismo la disposición del término medio y se diga a qué figura pertenece.
4) Se examine la cantidad y
la cualidad de cada proposición y se diga a qué modo pertenece el silogismo.
5) Finalmente, se someta a
examen si el silogismo emplea las reglas: a) particulares de aquella figura a la
que pertenece, b generales del silogismo; y consiguientemente, si se da la
consecuencia.
6) Las segundas y terceras
figuras del silogismo se reduzcan a la primera figura.
Muchos ejemplos de esta índole tiene Goudin en la obra
"Filosofía Tomista", tesis 1, Lógica, 34 parte, a. 3. Y aquí tienes algunos ejemplos:
Todo animal es sensible.
Todo hombre es animal.
Luego, todo hombre es
sensible.
Después de su repetición, se explica el término medio
"animal", que es sujeto en la mayor y predicado en la menor; pertenece
por tanto a la primera figura, porque "sub, prae prima"; la primera
proposición es A, la segunda A y la tercera de nuevo A, a saber, todas
universales afirmativas, por lo cual el modo será Barbara; finalmente, el
silogismo concluye, esto es, tiene consecuencia, por lo que observa las normas.
De
modo semejante se procede en los siguientes ejemplos:
1.
Todo animal es substancia;
ninguna piedra es animal;
luego, ninguna piedra es substancia.
2.
Todo animal es sensible;
algún hombre es animal;
luego, algún hombre es sensible.
3.
Todo animal es substancia;
alguna piedra no es animal;
luego, alguna piedra no es substancia.
4.
Ningún animal es piedra;
todo hombre es animal;
luego, ningún hombre es piedra.
5.
Ningún hombre es piedra;
ningún mármol es hombre;
luego, ningún mármol es piedra.
6.
Ningún animal es piedra;
algún hombre es animal;
luego, algún hombre no es piedra.
7.
Ningún animal es piedra;
algún mármol no es animal;
luego, algún mármol no es piedra.
8.
Algún animal no es racional;
todo hombre es animal;
luego, algún hombre no es racional.
9.
Algún animal no es racional;
algún hombre es animal;
luego, algún hombre no es racional.
10. Todo
hombre es animal;
todo sensible es animal;
luego, todo sensible es hombre.
11.
Todo hombre es
racional;
ningún caballo es
racional;
luego, ningún caballo es
hombre.
12.
Todo animal es
substancia;
alguna piedra es substancia;
luego, alguna piedra es
substancia.
13.
Todo hombre es
animal;
alguna piedra no es animal;
luego, alguna piedra no es
hombre.
14.
Ningún caballo es
racional;
todo hombre es racional;
luego, ningún hombre es
caballo.
15.
Ningún animal es
piedra;
ningún hombre es piedra;
luego, ningún hombre es
animal.
16.
Ninguna piedra es animal;
algún
hombre es animal;
luego, algún hombre no es piedra.
17. Algún caballo es animal;
todo hombre es animal;
luego, algún hombre es caballo.
18.
Alguna substancia no
es racional;
algún hombre es racional;
luego, algún hombre no es
substancia.
19.
Todo animal es
sensible;
todo animal es substancia;
luego, alguna substancia es
sensible.
20.
Todo animal es
substancia;
ningún
animal es piedra,
luego,
ninguna piedra es substancia.
21.
Toda planta es viviente;
alguna
planta es fructífera;
luego,
algún fructífero es viviente.
22.
Toda planta es
viviente;
alguna planta no es animal;
luego, algún animal no es
viviente.
23.
Ningún animal es
piedra;
todo animal es substancia;
luego, alguna substancia no
es piedra.
24.
Ninguna piedra es
animal;
ninguna piedra es racional;
luego, ningún racional es
animal.
25. Ninguna
piedra es racional;
alguna piedra es substancia;
luego, alguna substancia no es racional.
26. Ninguna
piedra es animal;
alguna piedra no es hombre;
luego, alguna substancia es racional.
27. Algún
animal es racional;
todo animal es substancia;
luego, alguna substancia es racional.
28. Algún
animal es racional,
algún animal es bruto;
luego, algún bruto es racional.
29. Algún
animal no es piedra;
todo animal es substancia;
luego, alguna substancia no es piedra.
30. Algún
animal no es piedra;
ningún animal es mármol;
luego, algún animal no es
piedra.